Geometrie

Velké kružnice

Na Zemi vede nejkratší cesta mezi dvěma místy po velké kružnici. Na ploché mapě světa obvykle vypadá zakřiveně.

Interaktivní trasa po hlavní kružnici na mapě světa

Přetahujte body A a B libovolně po mapě.

Vzdálenost po hlavní kružnici6 488 km

Mapa světa zobrazující libovolně zvolenou trasu po hlavní kružnici

Hlavní kružnice

A48,1° N, 11,6° VB40,7° N, 74,0° ZStředový úhel σ = 58,3°

Pro toto vysvětlení považujeme Zemi za kouli se středním poloměrem 6371 km.

Co je velká kružnice?

Velká kružnice je největší kružnice, kterou lze na kouli sestrojit. Její rovina prochází středem koule. Rovník je velká kružnice; také poledník spolu s protilehlým poledníkem tvoří velkou kružnici.

S výjimkou přesně protilehlých bodů leží dvě místa na povrchu Země na jediném nejkratším oblouku velké kružnice. Na ideálně kulové Zemi je tento oblouk nejkratší cestou po povrchu.

Hlavní kružnice procházející dvěma body na kulové Zemi

Od souřadnic ke vzdálenosti

Pro dvě místa potřebujeme jejich zeměpisné šířky φ₁ a φ₂ a rozdíl zeměpisných délek Δλ. Sever a východ jsou kladné, jih a západ záporné. Takže 10° E a 20° W dávají Δλ = 30°.

cos σ = sin φ₁ · sin φ₂ + cos φ₁ · cos φ₂ · cos(Δλ)

Například pro φ₁ = 50° N, φ₂ = 20° N a Δλ = 30°:

cos σ = sin 50° · sin 20° + cos 50° · cos 20° · cos 30° ≈ 0.7851

Středový úhel získáme pomocí inverzního kosinu:

σ = arccos(0.7851) ≈ 38.27° = 0.6679 rad

Teprve potom tento úhel převedeme na vzdálenost po povrchu Země:

d = R · σ = 6371 km · 0.6679 ≈ 4255 km

Pro poslední výpočet musí být σ v radiánech. Interaktivní mapa výše používá stejný kulový model.